已知动点，Q都在曲线C：（β为参数）上，对应参数分别为与（0＜＜2π），M为PQ的中点。（Ⅰ）求M的轨迹的参数方程（Ⅱ）将M到坐标原点的距离d表示为的函数，并判断M的轨迹

Question

已知动点 ，Q都在曲线C： （β为参数）上，对应参数分别为
与 （0＜ ＜2π），M为PQ的中点。
（Ⅰ）求M的轨迹的参数方程
（Ⅱ）将M到坐标原点的距离d表示为 的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点。

Answer 1

已知动点 ，Q都在曲线C： （β为参数）上，对应参数分别为
与 （0＜ ＜2π），M为PQ的中点。
（Ⅰ）求M的轨迹的参数方程
（Ⅱ）将M到坐标原点的距离d表示为 的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点。

（Ⅰ） ,( 为参数, )（Ⅱ）过坐标原点

（Ⅰ）由题意有, , ,
因此 ,
M的轨迹的参数方程为 ,( 为参数, ).
（Ⅱ）M点到坐标原点的距离为
，
当 时， ，故M的轨迹过坐标原点.
本题第（Ⅰ）问，由曲线C 的参数方程,可以写出其普通方程,从而得出点P的坐标,求出答案; 第（Ⅱ）问，由互化公式可得.对第（Ⅰ）问，极坐标与普通方程之间的互化,有一部分学生不熟练而出错;对第(2)问,不理解题意而出错.
【考点定位】本小题主要考查坐标系与参数方程的基础知识,熟练这部分的基础知识是解答好本类题目的关键.