三阶行列式abc;bca;cababcbcacab请问这个三阶行列式用行列式的性质怎么解哇,能不能化到三角形行列式?

Question

三阶行列式a b c;b c a;c a b
a b c
b c a
c a b
请问这个三阶行列式用行列式的性质怎么解哇,能不能化到三角形行列式?

Answer 1

方法当然是很多的,但都比直接按定义展开要麻烦得多!
1)c1+c2+c3
|a+b+c b c|
a+b+c c a
a+b+c a b
2)提出公因子（第一列的）
（a+b+c)*|1 b c|
1 c a
1 a b
3)第一行清0 （c2-c1*b、c3-c1*c)
(a+b+c)*|1 0 0|
1 c-b a-c
1 a-b b-c
4)第二行清0 c3-c2*(a-c)/(c-b)
(a+b+c)*|1 0 0|
1 c-b 0
1 a-b (b-c)-(a-b)(a-c)/(c-b)
5)按对角线展开 （a+b+c)*1*（c-b)[(b-c)-(a-b)(a-c)/(c-b)]
=(a+b+c)(-b^2+2bc-c^2-a^2+ab+ac-bc)
=3abc-a^3-b^3-c^3
当真可以说是自找麻烦,倘若直接按 六条对角线 展开,几乎可以一眼就看出结果.