已知函数f（x）=x|x-a|+2x，若存在a∈[-4，4]，使得关于x的方程f（x）=tf（a）有三个不相等的实数根，则实数t的取值范围为（）A.（1，98）B.（1，97）C.（97，32）D.（98，32）

Question

已知函数f（x）=x|x-a|+2x，若存在a∈[-4，4]，使得关于x的方程f（x）=tf（a）有三个不相等的实数根，则实数t的取值范围为（　　）

A. （1，

(9)/(8)）

B. （1，

(9)/(7)）

C. （

(9)/(7)，(3)/(2)）

D. （

(9)/(8)，(3)/(2)）

Answer 1

当-2≤a≤2时，f（x）=

-x2+(a+2)x，x≤a

x2+(2-a)x，x>a

在R上是增函数，
则关于x的方程f（x）=tf（a）不可能有三个不等的实数根，
则当a∈（2，4]时，由f（x）=

-x2+(a+2)x，x≤a

x2+(2-a)x，x>a

，
则当x>a时，f（x）=x²+（2-a）x，对称轴x=(a-2)/(2)<a，
则f（x）在x∈（a，+∞）为增函数，此时f（x）的值域为（f（a），+∞）=（2a，+∞），
x≤a时，f（x）=-x²+（2+a）x，对称轴x=(a+2)/(2)<a，
则f（x）在x∈（-∞，(a+2)/(2)]为增函数，此时f（x）的值域为（-∞，((a+2)2)/(4)]，f（x）在[(a+2)/(2)，a]为减函数，此时f（x）的值域为[2a，((a+2)2)/(4)]；
∵存在a∈（2，4]，方程f（x）=tf（a）=2ta有三个不相等的实根，
∴2ta∈（2a，((a+2)2)/(4)），
即存在a∈（2，4]，使得t∈（1，((a+2)2)/(8a)）即可，
令g（a）=((a+2)2)/(8a)=(1)/(8)（a+(4)/(a)+4），
只要使t<（g（a））_max即可，而g（a）在a∈（2，4]上是增函数，
∴（g（a））_max=g（4）=(9)/(8)，
故实数t的取值范围为（1，(9)/(8)）；
同理可求当a∈[-4，-2）时，t的取值范围为（1，(9)/(8)）；
综上所述，实数t的取值范围为（1，

作业帮用户 2017-05-05

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