伴随矩阵是?A*adjA=A*I如何证明?为什么可以只看主对角线而忽略矩阵的其它数?

Question

伴随矩阵是?A*adjA=A* I如何证明?为什么可以只看主对角线而忽略矩阵的其它数?

Answer 1

相关定义：
1.一个矩阵A的（i,j）代数余子式：Cij 是指A的（i,j）余子式Mij与(−1)^(i+j)的乘积：Cij = (−1)^(i+j)*Mij
2.A的余子矩阵是指将A的（i,j）代数余子式摆在第i行第j列所得到的矩阵,记为C.
3.C的转置矩阵称为A的伴随矩阵,记为adjA.
相关性质：
1.行列式任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于该行列式的值
2.行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零
证明：
设A的第i行第j列元素为aij,A*adjA的第i行第j列元素为xij
则xij等于A的第i行各元素与adjA的第j列相应元素乘积之和,
即A的第i行各元素与A的余子矩阵C的第j行相应元素乘积之和.
由性质1,xii = |A|
由性质2,xij(i≠j) = 0
因此A*adjA是对角线上各元素为|A|,其余元素为0的对角矩阵
即 A*adjA = |A|*I