求证如果一个直角三角形的一条直角边和斜边上的高与另一个直角三角形的一条直角边和斜边上的高成比例,那么这两个直角三角形相似

Question

求证如果一个直角三角形的一条直角边和斜边上的高与另一个直角三角形的一条直角边和
斜边上的高成比例,那么这两个直角三角形相似

Answer 1

1）一个直角三角形的一条直角边和斜边上的高就组成一个新的直角三角形.而且,因为他们一个直角、一个锐角相等.所以,它们本身就是一对相似直角三角形,如图一：∵∠B=∠D=90、∠C=∠C  ∴ △ABC∽△BCD  且BC/BD=AC/AB.同样bc/bd=ac/ab
2）两三角形的两对应边成比例,则这两三角形相似.因此,两个新的小直角三角形相似.如图二：∵BC/BD=bc/bd   ∴ △ABD∽△abd 且BC/BD=bc/bd
3）两两三角形相互相似.那么,它们都相似.即甲相似乙,乙相似丙,则甲也相似丙.
    ∵BC/BD=bc/bd  、 BC/BD=AC/AB、bc/bd=ac/ab
      ∴AC/AB=ac/ab
      ∴△ABC∽△abc
4）因此,这两个大的直角三角形相似.