y,z)求偏导时,为什么有时将X看作自变量,YZ为因变量,有时是XY为自变量Z为因变量,如下比如曲线z=x^2+y^2,x^2+2y^2+3z^2=1,求其dy/dx和dz/dx就将X看作自变量,YZ为因变量,而如果对于z=f(x,y)用重积分求面积

Question

y,z)求偏导时,为什么有时将X看作自变量,YZ为因变量,有时是XY为自变量Z为因变量,如下
比如曲线z=x^2+y^2,x^2+2y^2+3z^2=1,求其dy/dx和dz/dx就将X看作自变量,YZ为因变量,而如果对于z=f(x,y)用重积分求面积时求fx(x,y)和fy(x,y)是XY为自变量Z为因变量这搞的好昏啊,到底是什么关系啊,还有比如x^2+y^2+z^2=1,求z对x偏导=-Fx/Fz,这个Fx是2x,为何这里YZ又看为常熟,不看为自变量或因变量?

Answer 1

问题的关键就是你要知道谁是自变量,谁是因变量.
这个问题很好解决：如果你将其看成是隐函数,那么方程就决定了
函数关系,比如第一个例子,两个方程,三个未知数,
由两个方程可解出两个未知数,也就是只有一个是自变量.
题目明确说了,求dy/dx,dz/dx,那么x就是自变量,
y,z就是因变量.
第三个例子类似,x^2+y^2+z^2=1,一个方程,可解出一个未知数,
所以z是x,y的函数.于是可以求az/ax.
在求az/ax时,你可以方程两边同时对x求导,遇到z的地方注意z是
x的函数就可以了.这是一种做法,另外一种做法就是记公式,
就是你写得－Fx/Fz.这种写法天然的的已经不考虑方程了.
因为F＝x^2+y^2+z^2－1,不是方程了,就没有谁是因变量了,
全是自变量.
第二个例子跟上面类似,z＝f(x,y)是函数关系,当然x,y是自变量了.