如图，矩形ABCD的顶点B，C在x轴上，A，D在抛物线y=-12x2+2上，矩形ABCD在抛物线与x轴所围成的图形内．（1）设点A的坐标为（x，y），试求矩形ABCD的周长P关于自变量x的函数关系式，并求自变量

Question

如图，矩形ABCD的顶点B，C在x轴上，A，D在抛物线y=-(1)/(2)x²+2上，矩形ABCD在抛物线与x轴所围成的图形内．

（1）设点A的坐标为（x，y），试求矩形ABCD的周长P关于自变量x的函数关系式，并求自变量x的取值范围．
（2）是否存在这样的矩形ABCD，使它的周长为9？试证明你的结论．

Answer 1

（1）∵A点在x轴的正方向上坐标为（x，y），四边形ABCD为矩形，BC在x轴上，
∴AD∥x轴，
又∵抛物线关于y轴对称，
∴A、B关于y轴分别与D、C对称，
∴AD的长为2x，AB长为y，
∴周长p=2y+4x=2（-(1)/(2)x²+2）+4x=-x²+4x+4，
∵A在抛物线上，且ABCD组成矩形，
∴0<x<2，
∴p=-x²+4x+4，其中0<x<2．

（2）由题意得：-x²+4x+4=9，
因为方程无解，
故不存在这样的矩形ABCD，使它的周长为9．