设f（x）=loga（1+x）+loga（3-x）（a＞0，a≠1），且f（1）=2．（1）求a的值及f（x）的定义域；（2）求f（x）在区间[0，32]上的最大值．

Question

设f（x）=log_a（1+x）+log_a（3-x）（a＞0，a≠1），且f（1）=2．
（1）求a的值及f（x）的定义域；
（2）求f（x）在区间[0，(3)/(2)]上的最大值．

Answer 1

（1）∵f（1）=2，∴log_a（1+1）+log_a（3-1）=log_a4=2，解得a=2（a＞0，a≠1），
由

1+x＞0

3−x＞0

，得x∈（-1，3）．
∴函数f（x）的定义域为（-1，3）．
（2）f（x）=log₂（1+x）+log₂（3-x）=log₂（1+x）（3-x）=log2[−(x−1)2+4]
∴当x∈[0，1]时，f（x）是增函数；
当x∈[1，(3)/(2)]时，f（x）是减函数．
所以函数f（x）在[0，(3)/(2)]上的最大值是f（1）=log₂4=2．