设函数f（x）=1(|x-1|-a)2的定义域为D，其中a<1．（1）当a=-3时，写出函数f（x）的单调区间（不要求证明）；（2）若对于任意的x∈[0，2]∩D，均有f（x）≥kx2成立，求实数k的取值范围．

Question

设函数f（x）=(1)/((|x-1|-a)2)的定义域为D，其中a<1．
（1）当a=-3时，写出函数f（x）的单调区间（不要求证明）；
（2）若对于任意的x∈[0，2]∩D，均有f（x）≥kx²成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

（1）单调递增区间（-∞，1]，单调递减区间是[1，+∞）．
（2）x=0时，不等式f（x）≥kx²成立，
x≠0时，f（x）≥kx²成立，等价于k≤(1)/([x(|x-1|-a)]2)．
设h（x）=x（|x-1|-a）=

-x[x-(1-a)]，0<x≤1

x[x-(1+a)]，1<x≤2

．
①a≤-1时，h（x）在（0，2]上单调递增，∴0<h（x）≤h（2），即0<h（x）≤2（1-a），
∴k≤(1)/(4(1-a)2)，
②当-1<a<0时，h（x）在（0，(1-a)/(2)]上单调递增，在[(1-a)/(2)，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增．
∵h（2）=2-2a>((1-a)2)/(4)=h（(1-a)/(2)），
∴0<h（x）≤h（2）
∴0<h（x）≤2（1-a），
∴k≤(1)/(4(1-a)2)；
③当0≤a<1时，h（x）在（0，(1-a)/(2)]上单调递增，在[(1-a)/(2)，1-a）上单调递减，在（1-a，1）上单调递减，在[1，1+a）上单调递增，在（1+a，2]上单调递增，
∴h（1）≤h（x）≤max{h（2），h（(1-a)/(2)}且h（x）≠0，
∵h（2）=2-2a>((1-a)2)/(4)=h（(1-a)/(2)），
∴-a≤h（x）≤2-2a，且h（x）≠0．
当0≤a<(2)/(3)时，∵|2-2a|>|-a|，∴k≤(1)/(4(1-a)2)；
当(2)/(3)≤a<1时，∵|2-2a|≤|-a|，∴k≤(1)/(a2)．
综上所述，当a<(2)/(3)时，k≤(1)/(4(1-a)2)；当(2)/(3)≤a<1时，k≤(1)/(a作业帮用户2018-01-12扫描下载二维码©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议)