如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=54x+m（m为常数）的图象与x轴交于点A（-3，0），与y轴交于点C．以直线x=1为对称轴的抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）经过A、C两点，并与x轴

Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=(5)/(4)x+m （m为常数）的图象与x轴交于点A（-3，0），与y轴交于点C．以直线x=1为对称轴的抛物线y=ax²+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）经过A、C两点，并与x轴的正半轴交于点B．
（1）求m的值及抛物线的函数表达式；
（2）若P是抛物线对称轴上一动点，△ACP周长最小时，求出P的坐标；
（3）是否存在抛物在线一动点Q，使得△ACQ是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出点Q的横坐标；若不存在，请说明理由；
（4）在（2）的条件下过点P任意作一条与y轴不平行的直线交抛物线于M₁（x₁，y₁），M₂（x₂，y₂）两点，试问(M1P•M2P)/(M1M2)是否为定值？如果是，请直接写出结果；如果不是请说明理由．

Answer 1

（1）∵一次函数y=(5)/(4)x+m经过点A（-3，0），
∴m=(15)/(4)，
则C的坐标为（0，(15)/(4)），
∵抛物线经过点A（-3，0）、C（0，(15)/(4)），且以直线x=1为对称轴，
则点B的坐标为（5，0），
∴二次函数为y=-(1)/(4)（x+3）（x-5）或y=-(1)/(4)x²+(1)/(2)x+(15)/(4)；

（2）要使△ACP的周长最小，只需AP+CP最小即可．
如答图2，连接BC交x=1于P点，因为点A、B关于x=1对称，根据轴对称性质以及两点之间线段最短，可知此时AP+CP最小（AP+CP最小值为线段BC的长度）．
∵B（5，0），C（0，(15)/(4)），
∴直线BC解析式为y=-(3)/(4)x+(15)/(4)，
∵x_P=1，∴y_P=3，即P（1，3）．

（3）存在…（7分）
设Q（x，-(1)/(4)x²+(1)/(2)x+(15)/(4)）
①若C为直角顶点，则由△ACO相似于△CQE，
得x=5.2，
②若A为直角顶点，则由△ACO相似于△AQE，
得x=8.2，
∴Q的横坐标为5.2，7.2．

（4）是定值，定值为1．
令经过点P（1，3）的直线为y=kx+b，则k+b=3，即b=3-k，
则直线的解析式是：y=kx+3-k，
∵y=kx+3-k，y=-(1)/(4)x²+(1)/(2)x+(15)/(4)，
联立化简得：x²+（4k-2）x-4k-3=0，
∴x₁+x₂=2-4k，x₁x₂=-4k-3．
∵y₁=kx₁+3-k，y₂=kx₂+3-k，∴y₁-y₂=k（x₁-x₂）．
根据两点间距离公式得到：
M₁M₂=√((x1−x2)2+(y1−y2)2)=

作业帮用户 2017-09-20

问题解析

（1）首先求得m的值，根据抛物线对称性得到B点坐标，根据A、B点坐标利用交点式求得抛物线的解析式；
（2）（4）问较为复杂，如答图所示，分几个步骤解决：
第1步：确定何时△ACP的周长最小．利用轴对称的性质和两点之间线段最短的原理解决；
第2步：确定P点坐标P（1，3），从而直线M₁M₂的解析式可以表示为y=kx+3-k；
第3步：利用根与系数关系求得M₁、M₂两点坐标间的关系，得到x₁+x₂=2-4k，x₁x₂=-4k-3．这一步是为了后续的复杂计算做准备；
第4步：利用两点间的距离公式，分别求得线段M₁M₂、M₁P和M₂P的长度，相互比较即可得到结论：(M1P•M2P)/(M1M2)=1为定值．这一步涉及大量的运算，注意不要出错，否则难以得出最后的结论．
（3）分①若C为直角顶点，△ACO相似于△CQE，②若A为直角顶点，△ACO相似于△AQE，两种情况讨论求解．

名师点评

本题考点：

二次函数综合题．

考点点评：

本题是难度很大的中考压轴题，综合考查了初中数学的诸多重要知识点：代数方面，考查了二次函数的相关性质、一次函数的相关性质、一元二次方程根与系数的关系以及二次根式的运算等；几何方面，考查了两点间的距离公式、轴对称-最短路线问题等．本题解题技巧要求高，而且运算复杂，因此对考生的综合能力提出了很高的要求．

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