空间直线的两种方程是否可以相互转化?比如：{F(x,y,z)=0,G(x,y,z)=0}和（x-a）/A=（y-b）/B=(z-C)/c之间的转化

Question

空间直线的两种方程是否可以相互转化?
比如：{F(x,y,z)=0,G(x,y,z)=0}和（x-a）/A=（y-b）/B=(z-C)/c之间的转化

Answer 1

当然可以,你说的是把直线的一般式化成点向式
设两平面分别是A1x+B1y+C1z+D1=0,A2x+B2y+C2z+D2=0,
先取点P,不妨令z=0,由这两方程联立求解,得x=a,y=b,因而点P（a,b,0)
再求直线的方向向量,算一个三阶行列式,第一行元素依次为I,J,K
第二行为 A 1 B1 C1 第三行为 A2 B2 C2
这样算出的方向向量为(B1C2-B2C1,C1A2-A2C1,A1B2-A2B1)
再由直线方程的点向式,可写出直线方程为
（x-a)/(B1C2-B2C1)=(y-b)/(C1A2-A2C1)=z/(A1B2-A2B1)