设一直线过点(2,-1,2)且与两条直线L1=x-1/2=y-1/0=z-1/1,L2=x-2/1=y-1/1=z+3/-1同时相交,求直线方程.

Question

设一直线过点(2,-1,2)且与两条直线L1=x-1/2=y-1/0=z-1/1,L2=x-2/1=y-1/1=z+3/-1同时相交,求直线方程.

Answer 1

方法一：在 L1 上任取点 P（2t+1 ,1,t+1）,在 L2 上任取点 Q（m+2 ,m+1 ,-m-3）,
它们与已知点 R（2,-1,2） 的连线向量为 RP=（2t-1 ,2,t-1）,RQ=（m,m+2,-m-5）,
由于 R、P、Q 三点共线,因此 RP//RQ ,
所以 (2t-1)/m=2/(m+2)=(t-1)/(-m-5) ,
解得 m= -18/5 ,t=11/4 ,因此 RP=（9/2,2,7/4）,
因此所求直线方程为 (x-2)/(9/2)=(y+1)/2=(z-2)/(7/4) ,化简得 (x-2)/18=(y+1)/8=(z-2)/7 .
方法二：在 L1 上取点 P（1,1,1）,则 RP=（-1,2,-1）,
而 L1 方向向量为 v1=（2,0,1）,
所以过 R 及 L1 的平面法向量为 n=RP×v1=（2,-1,-4）,
那么过 R 及 L1 的平面方程为 2(x-2)-(y+1)-4(z-2)=0 ,
与 L2 方程联立,可得交点为 Q（-8/5,-13/5,3/5）,
由两点式可得所求直线的方程为 (x-2)(-8/5-2)=(y+1)/(-13/5+1)=(z-2)/(3/5-2) ,
化简得 (x-2)/18=(y+1)/8=(z-2)/7 .