已知过定点P（2，0）的直线l与曲线y=2-x2相交于A、B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大时，直线的倾斜角可以是：①30°；②45°；③60°；④120°

Question

已知过定点P（2，0）的直线l与曲线y= √(2-x2)相交于A、B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大时，直线的倾斜角可以是：①30°；②45°；③60°；④120°⑤150°．其中正确答案的序号是___．（写出所有正确答案的序号）

Answer 1

当△AOB面积取最大值时，OA⊥OB，
∵过定点P（2，0）的直线l与曲线y=√(2-x2)相交于A、B两点，
∴圆心O（0，0），半径r=√(2)，
∴OA=OB=√(2)，AB=2，
∴圆心O（0，0）到直线直线l的距离为1，
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=2，不合题意；
当直线l的斜率存在时，直线l的方程为y=k（x-2），
圆心（0，0）到直线l的距离d=(|-2k|)/(√(k2+1))=1，
解得k=±(√(3))/(3)，
由题意可知当△AOB的面积取最大时，直线的倾斜角是150°．
故答案为⑤．