在矩形ABCD中,已知AD=6,AB=2,E、F为AD的两个三等分点,AC和BF交于点G,△BEG的外接圆为⊙H.以DA所在直线为x轴,以DA中点O为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系.(1)求以F、E为焦点
在矩形ABCD中,已知AD=6,AB=2,E、F为AD的两个三等分点,AC和BF交于点G,△BEG的外接圆为⊙H.以DA所在直线为x轴,以DA中点O为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系.
(1)求以F、E为焦点,DC和AB所在直线为准线的椭圆的方程.
(2)求⊙H的方程.
(3)设点P(0,b),过点P作直线与⊙H交于M,N两点,若点M恰好是线段PN的中点,求实数b的取值范围.
答案和解析
解;(1)由已知,设椭圆方程为
+=1(a>b>0),
由于焦点E的坐标为(1,0),它对应的准线方程为x=3,
所以c=1,=3,于是a2=3,b2=2,
所以所求的椭圆方程为:+=1.
(2)由题意可知A(3,0),B(3,2),C(-3,2),F(-1,0).
所以直线AC和直线BF的方程分别为:x+3y-3=0,x-2y+1=0,
由解得所以G点的坐标为(, ).
所以kEG=-2,kBF=,
因为kEG•kBF=-1,所以EG⊥BF,
所以⊙H的圆心为BE中点H(2,1),半径为BH=,
所以⊙H方程为(x-2)2+(y-1)2=2.
(3)设M点的坐标为(x0,y0),则N点的坐标为(2x0,2y0-b),
因为点M,N均在⊙H上,所以 | (x0−2)2+(y0−1)2=2 ① | (2x0−2)2+(2y0−b−1)2=2 ② |
| |
,
由②-①×4,得8x0+4(1-b)y0+b2+2b-9=0,
所以点M(x0,y0)在直线8x+4(1-b)y+b2+2b-9=0,
又因为点M(x0,y0)在⊙H上,
所以圆心H(2,1)到直线8x+4(1-b)y+b2+2b-9=0的距离≤,
即| (b−1)2+10 |≤4,
整理,得(b-1)4-12(b-1)2-28≤0,即[(b-1)2+2][(b-1)2-14]≤0,
所以1−≤b≤1+,故b的取值范围为[1−,1+].
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