在矩形ABCD中，已知AD=6，AB=2，E、F为AD的两个三等分点，AC和BF交于点G，△BEG的外接圆为⊙H．以DA所在直线为x轴，以DA中点O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系．（1）求以F、E为焦点

Question

在矩形ABCD中，已知AD=6，AB=2，E、F为AD的两个三等分点，AC和BF交于点G，△BEG的外接圆为⊙H．以DA所在直线为x轴，以DA中点O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系．
（1）求以F、E为焦点，DC和AB所在直线为准线的椭圆的方程．
（2）求⊙H的方程．
（3）设点P（0，b），过点P作直线与⊙H交于M，N两点，若点M恰好是线段PN的中点，求实数b的取值范围．

Answer 1

解；（1）由已知，设椭圆方程为(x2)/(a2)+(y2)/(b2)＝1(a＞b＞0)，
由于焦点E的坐标为（1，0），它对应的准线方程为x=3，
所以c=1，(a2)/(c)＝3，于是a²=3，b²=2，
所以所求的椭圆方程为：(x2)/(3)+(y2)/(2)＝1．

（2）由题意可知A（3，0），B（3，2），C（-3，2），F（-1，0）．
所以直线AC和直线BF的方程分别为：x+3y-3=0，x-2y+1=0，
由

x+3y−3＝0 

x−2y+1＝0 

解得

x＝(3)/(5) 

y＝(4)/(5) 

所以G点的坐标为((3)/(5)， (4)/(5))．
所以k_EG=-2，kBF＝(1)/(2)，
因为k_EG•k_BF=-1，所以EG⊥BF，
所以⊙H的圆心为BE中点H（2，1），半径为BH＝√(2)，
所以⊙H方程为（x-2）²+（y-1）²=2．

（3）设M点的坐标为（x₀，y₀），则N点的坐标为（2x₀，2y₀-b），
因为点M，N均在⊙H上，所以

(x0−2)2+(y0−1)2＝2              ①

(2x0−2)2+(2y0−b−1)2＝2      ②

，
由②-①×4，得8x₀+4（1-b）y₀+b²+2b-9=0，
所以点M（x₀，y₀）在直线8x+4（1-b）y+b²+2b-9=0，
又因为点M（x₀，y₀）在⊙H上，
所以圆心H（2，1）到直线8x+4（1-b）y+b²+2b-9=0的距离(|16+4(1−b)+b2+2b−9|)/(√(64+16(1−b)2))≤√(2)，
即| (b−1)2+10 |≤4√(8+2(b−1)2)，
整理，得（b-1）⁴-12（b-1）²-28≤0，即[（b-1）²+2][（b-1）²-14]≤0，
所以1−√(14)≤b≤1+√(14)，故b的取值范围为[1−√(14)，1+√(14)]．