已知直线l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0，圆C：（x-1）2+（y-1）2=25．（1）求证：直线l过定点；（2）当m为何值时，直线l被圆C截得的弦最短．

Question

已知直线l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0，圆C：（x-1）²+（y-1）²=25．
（1）求证：直线l过定点；
（2）当m为何值时，直线l被圆C截得的弦最短．

Answer 1

（1）证明：把直线l的方程整理成m（2x+y-7）+（x+y-4）=0
由于m的任意性，有

2x+y-7=0

x+y-4=0

，解此方程组，得

x=3

y=-1

，
所以直线l恒过定点D（3，1）；
（2） 当直线l与DC垂直时，被截得的弦最短，
此时，直线l与DC的斜率k_l•k_CD=-1，
由直线l的方程得kl=-(2m+1)/(m+1)，由点C、D的坐标得kCD=(2-1)/(1-3)=-(1)/(2)
∴(-(2m+1)/(m+1))•(-(1)/(2))=-1，解得m=-(3)/(4)，
所以，当m=-(3)/(4)时，直线l被圆C截得的弦最短．