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(2014•舟山)类比梯形的定义,我们定义:有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”.(1)已知:如图1,四边形ABCD是“等对角四边形”,∠A≠∠C,∠A=70°,
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![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/a686c9177f3e670977158c4e38c79f3df8dc556e.jpg)
(1)已知:如图1,四边形ABCD是“等对角四边形”,∠A≠∠C,∠A=70°,∠B=80°.求∠C,∠D的度数.
(2)在探究“等对角四边形”性质时:
①小红画了一个“等对角四边形”ABCD(如图2),其中∠ABC=∠ADC,AB=AD,此时她发现CB=CD成立.请你证明此结论;
②由此小红猜想:“对于任意‘等对角四边形’,当一组邻边相等时,另一组邻边也相等”.你认为她的猜想正确吗?若正确,请证明;若不正确,请举出反例.
(3)已知:在“等对角四边形”ABCD中,∠DAB=60°,∠ABC=90°,AB=5,AD=4.求对角线AC的长.
▼优质解答
答案和解析
(1)如图1
∵等对角四边形ABCD,∠A≠∠C,
∴∠D=∠B=80°,
∴∠C=360°-70°-80°-80°=130°;
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/c83d70cf3bc79f3d3af42d81b9a1cd11728b296e.jpg)
(2)①如图2,连接BD,
∵AB=AD,
∴∠ABD=∠ADB,
∵∠ABC=∠ADC,
∴∠ABC-∠ABD=∠ADC-∠ADB,
∴∠CBD=∠CDB,
∴CB=CD,
②不正确,
反例:如图3,∠A=∠C=90°,AB=AD,
但CB≠CD,
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/9e3df8dcd100baa108398e0a4410b912c8fc2e6e.jpg)
(3)(Ⅰ)如图4,当∠ADC=∠ABC=90°时,延长AD,BC相交于点E,
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/242dd42a2834349b5606a734caea15ce36d3be7b.jpg)
∵∠ABC=90°,∠DAB=60°,AB=5,
∴AE=10,
∴DE=AE-AD=10-4=6,
∵∠EDC=90°,∠E=30°,
∴CD=2
,
∴AC=
=
=2
(Ⅱ)如图5,当∠BCD=∠DAB=60°时,过点D作DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点F,
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/d52a2834349b033b0d8b356b16ce36d3d539bd04.jpg)
∵DE⊥AB,∠DAB=60°AD=4,
∴AE=2,DE=2
,
∴BE=AB-AE=5-2=3,
∵四边形BFDE是矩形,
∴DF=BE=3,BF=DE=2
,
∵∠BCD=60°,
∴CF=
∵等对角四边形ABCD,∠A≠∠C,
∴∠D=∠B=80°,
∴∠C=360°-70°-80°-80°=130°;
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/c83d70cf3bc79f3d3af42d81b9a1cd11728b296e.jpg)
(2)①如图2,连接BD,
∵AB=AD,
∴∠ABD=∠ADB,
∵∠ABC=∠ADC,
∴∠ABC-∠ABD=∠ADC-∠ADB,
∴∠CBD=∠CDB,
∴CB=CD,
②不正确,
反例:如图3,∠A=∠C=90°,AB=AD,
但CB≠CD,
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/9e3df8dcd100baa108398e0a4410b912c8fc2e6e.jpg)
(3)(Ⅰ)如图4,当∠ADC=∠ABC=90°时,延长AD,BC相交于点E,
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/242dd42a2834349b5606a734caea15ce36d3be7b.jpg)
∵∠ABC=90°,∠DAB=60°,AB=5,
∴AE=10,
∴DE=AE-AD=10-4=6,
∵∠EDC=90°,∠E=30°,
∴CD=2
3 |
∴AC=
AD2+CD2 |
42+(2
|
7 |
(Ⅱ)如图5,当∠BCD=∠DAB=60°时,过点D作DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点F,
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/d52a2834349b033b0d8b356b16ce36d3d539bd04.jpg)
∵DE⊥AB,∠DAB=60°AD=4,
∴AE=2,DE=2
3 |
∴BE=AB-AE=5-2=3,
∵四边形BFDE是矩形,
∴DF=BE=3,BF=DE=2
3 |
∵∠BCD=60°,
∴CF=
作业帮用户
2016-12-14
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