凸四边形ABCD的面积是S，四边形内一点M关于四边中点的对称点分别是P、Q、R、S，则四边形PQRS的面积是．

Question

凸四边形ABCD的面积是S，四边形内一点M关于四边中点的对称点分别是P、Q、R、S，则四边形PQRS的面积是______．

Answer 1

设该凸四边形为四边形ABCD，不妨设M关于AB、BC、CD、DA的中点对称的点分别是P、Q、R、S，
设AB，BC，CD，AD的中点分别为：R，X，V，W，连接RX，WR，XV，WV，BD，
∵W是AD中点，R是AB中点，
∴WR∥BD，WR=(1)/(2)BD，
∴△AWR∽△ADB，
∴(S△AWR)/(S△ADB)=((1)/(2)) 2=(1)/(4)，
同理可得：(S△CVX)/(S△CDB)=(1)/(4)，
∴S_△AWR+S_△CVX=(1)/(4)S_{四边形ABCD}，
同理可得：S_{四边形RWVX}=(1)/(2)S_{四边形ABCD}，
∵R，W，V，X还是PM，SM，MR，MQ的中点，
∴RX∥PQ，RX=(1)/(2)PQ；RW∥PS，RW=(1)/(2)PS；VW∥RS，VW=(1)/(2)SR；VX∥RQ，VX=(1)/(2)QR，
∴(S△RMX)/(S△PMQ)=((1)/(2)) 2=(1)/(4)，
同理可得出：(S△MRW)/(S△MPS)=(S△MWV)/(S△MSR)=(S△MVX)/(S△MRQ)=(1)/(4)，
故S_{四边形RWVX}=(1)/(4)S_{四边形PSRQ}，
进而得出：(1)/(4)S_{四边形PSRQ}=

作业帮用户 2017-10-20