如图，在凸四边形ABCD中，C，D为定点，CD=3，A，B为动点，满足AB=BC=DA=1．（Ⅰ）写出cosC与cosA的关系式；（Ⅱ）设△BCD和△ABD的面积分别为S和T，求S2+T2的最大值．

Question

如图，在凸四边形ABCD中，C，D为定点，CD=√(3)，A，B为动点，满足AB=BC=DA=1．
（Ⅰ）写出cosC与cosA的关系式；
（Ⅱ）设△BCD和△ABD的面积分别为S和T，求S²+T²的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）连接BD，
∵CD=√(3)，AB=BC=DA=1，
∴在△BCD中，利用余弦定理得：BD²=BC²+CD²-2BC•CDcosC=4-2√(3)cosC；
在△ABD中，BD²=2-2cosA，
∴4-2√(3)cosC=2-2cosA，
则cosA=√(3)cosC-1；
（Ⅱ）S=(1)/(2)BC•CD•sinC=(√(3))/(2)sinC，T=(1)/(2)AB•ADsinA=(1)/(2)sinA，
∵cosA=√(3)cosC-1，
∴S²+T²=(3)/(4)sin²C+(1)/(4)sin²A=(3)/(4)（1-cos²C）+(1)/(4)（1-cos²A）=-(3)/(2)cos²C+(√(3))/(2)cosC+(3)/(4)=-(3)/(2)（cosC-(√(3))/(6)）²+(7)/(8)，
则当cosC=(√(3))/(6)时，S²+T²有最大值(7)/(8)．