已知空间四边形ABCD各边长与对角线都相等，求AB和CD所成的角的大小．

Question

已知空间四边形ABCD各边长与对角线都相等，求AB和CD所成的角的大小．

Answer 1

由题意可设空间四边形ABCD各边长与对角线都为2，
取AD，AC，BC的中点分别为M、P、N，并连接，
由中位线的知识可得：MP∥CD，PN∥AB，MP=NP=1，
所以∠MPN就是AB和CD所成的角，
而三角形ADN为等腰三角形，（AN=DN=√(3)），
故MN⊥AD，MN=√(AN2−AM2)=√((√(3))2−12)=√(2)，
故在三角形MNP中，MP²+NP²=MN²，
故∠MPN=90°，
故AB和CD所成的角为90°