如图，四边形ABCD是菱形，且∠ADC=120°，点M、N分别是边AB、BC的中点，点P是对角线AC上的动点，若PM+PN的最小值是1，则菱形ABCD的面积是3232．

Question

如图，四边形ABCD是菱形，且∠ADC=120°，点M、N分别是边AB、BC的中点，点P是对角线AC上的动点，若PM+PN的最小值是1，则菱形ABCD的面积是

(√(3))/(2)

(√(3))/(2)

．

Answer 1

作M点关于AC的对称点M′，连接M′N，则与AC的交点P′即是P点的位置．
∵点M、N分别是边AB、BC的中点，
∴MN是△ABC的中位线，当PM+PN最小时P在AC的中点，
此时，AB=PM+PN=1，
∵∠ADC=120°，
∴△ABD是等边三角形，
连接BD，则BD=AB=1，
AC=2MN=2√(12−((1)/(2))2)=√(3)，
∴菱形ABCD的面积为：(1)/(2)AC•BD=(1)/(2)×√(3)×1=(√(3))/(2)．
故答案是：(√(3))/(2)．