设函数f（x）=ln(1+ax3)x−arcsinx，x＜06，x＝0eax+x2−ax−1xsinx4，x＞0，问a为何值时，f（x）在x=0处连续；a为何值时，x=0是f（x）的可去间断点？

Question

设函数 f（x）=

(ln(1+ax3))/(x−arcsinx)，  x＜0

6，                x＝0

(eax+x2−ax−1)/(xsin(x)/(4))，  x＞0

，问a为何值时，f（x）在x=0处连续；a为何值时，x=0是f（x）的可去间断点？

Answer 1

∵x→0时，ln（1+ax³）～ax³，√(1−x2)−1～−(1)/(2)x2，sin(x)/(4)～(x)/(4)
∴f(0−0)＝

lim

x→0−

f(x)=

lim

x→0−

(ax3)/(x−arcinx)=

lim

x→0−

(3ax2)/(1−(1)/(√(1−x2)))＝

lim

x→0−

[(3ax2)/(√(1−x2)−1)•√(1−x2)]=

lim

x→0−

(3ax2)/(−(1)/(2)x2)＝−6a
f(0+0)＝

作业帮用户 2016-12-01

问题解析

此题是求分段函数在分段点的连续性，自然是要考虑函数在x=0的左右侧极限与函数在x=0的函数值的关系．

名师点评

本题考点：

函数间断点的类型及判断；左极限、右极限的定义及求解．

考点点评：

本题虽然思路很简单，但在求极限的过程中，用到了等价无穷小来简化极限的计算．常见的等价无穷小，一定要熟练使用．

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