如图，在半径为R、圆心角为π3的扇形AB弧上任取一点P，作扇形的内接矩形PNMQ，使点Q在OA上，点M、N在OB上，求这个矩形面积的最大值及相应的∠AOP的值．

Question

如图，在半径为R、圆心角为(π)/(3)的扇形AB弧上任取一点P，作扇形的内接矩形PNMQ，使点Q在OA上，点M、N在OB上，求这个矩形面积的最大值及相应的∠AOP的值．

Answer 1

∵扇形AB的半径为R，圆心角为60°
且∠POB=a，矩形PNMQ面积为S．
由题设可得S=Rsinα（Rcosα-(√(3))/(3)Rsinα）．
化简得：S=(√(3))/(3)R²sin（2α+(π)/(6)）-(√(3))/(6)R²，α∈（0，(π)/(3)）
当α=(π)/(6)，即∠AOP=(π)/(6)时，
S取最大值 (√(3))/(6)R²．