问一道数学归纳题!已知对于任意正数a1,a2,a3,有不等式已知对于任意正数a1,a2,a3,有不等式：a1*(1/a1)≥1,(a1+a2)*(1/a1+1/a2)≥4,(a1+a2+a3)*(1/a1+1/a2+1/a3)≥9.(1)从上述不等式归纳出一个适合任意正数a1,a2,

Question

问一道数学归纳题!已知对于任意正数a1,a2,a3,有不等式
已知对于任意正数a1,a2,a3,有不等式：a1*(1/a1)≥1,(a1+a2)*(1/a1+1/a2)≥4,(a1+a2+a3)*(1/a1+1/a2+1/a3)≥9.
(1)从上述不等式归纳出一个适合任意正数a1,a2,…,An的不等式.
(2)用数学归纳法证明你归纳得到的不等式.

Answer 1

1.(a1+a2+a3+...+an)*(1/a1+1/a2+1/a3+...+1/an)≥n?
2.①当n=1时,a1*(1/a1)=1
②假设n=k时,(a1+a2+a3+...+ak)*(1/a1+1/a2+1/a3+...+1/ak)≥k?
则n=k+1时,(a1+a2+a3+...+ak+a(k+1))*(1/a1+1/a2+1/a3+...+1/a(k+1))
=(a1+a2+...+ak)*(1/a1+1/a2+...+1/ak)+(a1+a2+...+ak)/[a(k+1)]+(1/a1+1/a2+...+1/ak)*a(k+1)+1
≥k?+(a1+a2+...+ak)/[a(k+1)]+(1/a1+1/a2+...+1/ak)*a(k+1)+1
=k?+{a1/[a(k+1)]+...+ak/[a(k+1)]}+{a(k+1)/a1+...+a(k+1)/ak}+1
=k?+{a1/[a(k+1)]+a(k+1)/a1}+...+{ak/[a(k+1)]+...+a(k+1)/ak}+1
≥k?+2k+1
=(k+1)?
所以n=k+1时,命题成立
③综合①②可得猜想成立,即(a1+a2+a3+...+an)*(1/a1+1/a2+1/a3+...+1/an)≥n?