已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a＞b＞0)的右焦点为F2（根号2,0）,离心率为e=根号2/2（1）求椭圆的方程（2）若直线l：2x-y+5√2=0与椭圆相离点P为椭圆上的任意一点求点P到直线L的最小距离

Question

已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a＞b＞0)的右焦点为F2（根号2,0）,离心率为e=根号2/2
（1）求椭圆的方程 （2）若直线l：2x-y+5√2=0与椭圆相离点P为椭圆上的任意一点求点P到直线L的最小距离

Answer 1

原题是：已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a＞b＞0)的右焦点为F2(√2,0),离心率为e=(√2)/2
(1)求椭圆的方程,(2)若直线l：2x-y+5√2=0与椭圆相离,点P为椭圆上的任意一点,求点P到直线L的最小距离.
(1) 由已知得
c/a=(√2)/2 且 c=√2 且 a^2=b^2+c^2
解得 a^2=4 b^2=2
所以椭圆的方程是x^2/4+y^2/2=1
(2)设与l平行且与椭圆相切的直线方程是 2x-y+m=0
由 2x-y+m=0 和 x^2/4+y^2/2=1消去y并化简得
9x^2+8mx+2m^2-4=0
△=64m^2-36(2m^2-4)=0
解得 m=3√2 或 m=-3√2
即切线 2x-y+3√2=0 或 2x-y-3√2=0(最远,舍去)
所以最近距离是 |(5√2)-(3√2)|/√5=2(√10)/5
希望对你有点帮助!