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实际问题:某学校共有18个教学班,每班的学生数都是40人.为了解学生课余时间上网情况,学校打算做一次抽样调查,如果要确保全校抽取出来的学生中至少有10人在同一班级,那么全
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实际问题:某学校共有18个教学班,每班的学生数都是40人.为了解学生课余时间上网情况,学校打算做一次抽样调查,如果要确保全校抽取出来的学生中至少有10人在同一班级,那么全校最少需抽取多少名学生? 建立模型:为解决上面的“实际问题”,我们先建立并研究下面从口袋中摸球的数学模型: 在不透明的口袋中装有红,黄,白三种颜色的小球各20个(除颜色外完全相同),现要确保从口袋中随机摸出的小球至少有10个是同色的,则最少需摸出多少个小球? 为了找到解决问题的办法,我们可把上述问题简单化: (1)我们首先考虑最简单的情况:即要确保从口袋中摸出的小球至少有2个是同色的,则最少需摸出多少个小球? 假若从袋中随机摸出3个小球,它们的颜色可能会出现多种情况,其中最不利的情况就是它们的颜色各不相同,那么只需再从袋中摸出1个小球就可确保至少有2个小球同色,即最少需摸出小球的个数是:1+3=4(如图①); (2)若要确保从口袋中摸出的小球至少有3个是同色的呢? 我们只需在(1)的基础上,再从袋中摸出3个小球,就可确保至少有3个小球同色,即最少需摸出小球的个数是:1+3×2=7(如图②) (3)若要确保从口袋中摸出的小球至少有4个是同色的呢? 我们只需在(2)的基础上,再从袋中摸出3个小球,就可确保至少有4个小球同色,即最少需摸出小球的个数是:1+3×3=10(如图③):… (10)若要确保从口袋中摸出的小球至少有10个是同色的呢? 我们只需在(9)的基础上,再从袋中摸出3个小球,就可确保至少有10个小球同色,即最少需摸出小球的个数是:1+3×(10-1)=28(如图⑩) 模型拓展一:在不透明的口袋中装有红,黄,白,蓝,绿五种颜色的小球各20个(除颜色外完全相同),现从袋中随机摸球: (1)若要确保摸出的小球至少有2个同色,则最少需摸出小球的个数是______; (2)若要确保摸出的小球至少有10个同色,则最少需摸出小球的个数是______; (3)若要确保摸出的小球至少有n个同色(n<20),则最少需摸出小球的个数是______. 模型拓展二:在不透明口袋中装有m种颜色的小球各20个(除颜色外完全相同),现从袋中随机摸球: (1)若要确保摸出的小球至少有2个同色,则最少需摸出小球的个数是______. (2)若要确保摸出的小球至少有n个同色(n<20),则最少需摸出小球的个数是______. 问题解决:(1)请把本题中的“实际问题”转化为一个从口袋中摸球的数学模型; (2)根据(1)中建立的数学模型,求出全校最少需抽取多少名学生? |
▼优质解答
答案和解析
模型拓展一:(1)1+5=6;(1分)
(3)1+5(n-1);(3分) 模型拓展二:(1)1+m;(4分) (2)1+m(n-1);(5分) 问题解决:(1)在不透明口袋中放入18种颜色的小球(小球除颜色外完全相同)各40个,现要确保从口袋中随机摸出的小球至少有10个是同色的,则最少需摸出多少个小球?(8分) (2)1+18×(10-1)=163个(10分) |
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