已知f（x）=2sin（2x+π6）+a+1（a为常数）．（1）求f（x）的递增区间；（2）若x∈[0，π2]时，f（x）的最大值为4，求a的值；（3）求出使f（x）取最大值时x的集合．

Question

已知f（x）=2sin（2x+(π)/(6)）+a+1（a为常数）．
（1）求f（x）的递增区间；
（2）若x∈[0，(π)/(2)]时，f（x）的最大值为4，求a的值；
（3）求出使f（x）取最大值时x的集合．

Answer 1

（1）由2kπ-(π)/(2)≤2x+(π)/(6)≤2kπ+(π)/(2)得kπ-(π)/(3)≤x≤kπ+(π)/(6)（k∈Z），
所以，递增区间为[kπ-(π)/(3)，kπ+(π)/(6)]（k∈Z）；
（2）∵x∈[0，(π)/(2)]，
∴(π)/(6)≤2x+(π)/(6)≤(7π)/(6)，
∴2sin（2x+(π)/(6)）的最大值为2，
∵f（x）=2sin（2x+(π)/(6)）+a+1在∈[0，(π)/(2)]的最大值为4，
∴a+3=4，
∴a=1．
（3）∵2x+(π)/(6)=2kπ+(π)/(2)，
∴x=kπ+(π)/(6)（k∈Z），
∴f（x）取最大值时x的集合{x|x=kπ+(π)/(6)，k∈Z}．