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设F(x)=∫x+2πxesintsintdt,则F(x)()A.为正数B.为负数C.恒为零D.不为常数
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设F(x)=
esintsintdt,则F(x)( )
A.为正数
B.为负数
C.恒为零
D.不为常数
∫ | x+2π x |
A.为正数
B.为负数
C.恒为零
D.不为常数
▼优质解答
答案和解析
由于esintsint 函数是周期为2π的周期函数,根据周期函数的积分性质:
esintsintdt=
esintsintdt
=
−esintdcost=-(esintcost
−
esintcos2tdt)(分部积分法)
=
cos2t•esintdt;
由于:cos2t•esint在区间(0,2π)上恒大于等于0,且不恒等于0,有积分函数的保号性可知:
cos2t•esintdt>0.
所以:F(x)>0.(由于函数积分上下限为常量,故积分值为常数,D选项不对)
故选:A.
∫ | x+2π x |
∫ | 2π 0 |
=
∫ | 2π 0 |
| | 2π 0 |
∫ | 2π 0 |
=
∫ | 2π 0 |
由于:cos2t•esint在区间(0,2π)上恒大于等于0,且不恒等于0,有积分函数的保号性可知:
∫ | 2π 0 |
所以:F(x)>0.(由于函数积分上下限为常量,故积分值为常数,D选项不对)
故选:A.
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