设F（x）=∫x+2πxesintsintdt，则F（x）（）A．为正数B．为负数C．恒为零D．不为常数

Question

设F（x）=

∫

x+2π x

esintsintdt，则F（x）（　　）

A．为正数
B．为负数
C．恒为零
D．不为常数

Answer 1

由于e^sintsint 函数是周期为2π的周期函数，根据周期函数的积分性质：

∫

x+2π x

esintsintdt=

∫

2π 0

esintsintdt
=

∫

2π 0

−esintdcost=-（esintcost

|

2π 0

−

∫

2π 0

esintcos2tdt）（分部积分法）
=

∫

2π 0

cos2t•esintdt；
由于：cos²t•e^sint在区间（0，2π）上恒大于等于0，且不恒等于0，有积分函数的保号性可知：

∫

2π 0

cos2t•esintdt＞0．
所以：F（x）＞0．（由于函数积分上下限为常量，故积分值为常数，D选项不对）
故选：A．