离散数学问题，求大神解答设V=是一个半群，则对任意的a∈S,令={x|x=a^n,n>0},证明：是一个子半群。若V是一个独异点，怎样类似地定义一个子独异点。

Question

离散数学问题，求大神解答
设 V = 是一个半群，则对任意的 a∈S, 令
= {x | x = a^n, n > 0},
证明： 是一个子半群。 若 V 是一个独异点，怎样类似地定义一个子独异点。

Answer 1

首先，满足结合律是显然的（从V中继承的）
我们来证明关于运算◦封闭
∀a∈S，∀aⁿ¹∈，aⁿ² ∈，其中n₁>0，n₂>0
aⁿ¹◦aⁿ² = aⁿ¹⁺ⁿ²
显然n₁+n₂>0，因此aⁿ¹⁺ⁿ²∈
即aⁿ¹◦aⁿ²∈
由任意性可知关于运算◦封闭，从而是V的子代数，是子半群。
若 V 是一个独异点，那么V含有么元，记作1，则V=是独异点。
子独异点可以有很多种，但必须满足两点：1∈ 且 是一个子半群

那么我们可以这样定义
对任意的 a∈S, 令
= {x | x = aⁿ, n∈ℤ}
那么显然1=a⁰∈，且关于运算◦封闭（证明方法同上）
从而<，◦，1>是子独异点