已知定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x）满足：①对于任意x，y∈（-∞，0）∪（0，+∞），f（x•y）=f（x）+f（y）；②当x＞1时，f（x）＞0，且f（2）=1．（1）试判断函数f（x）的奇

Question

已知定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x）满足：①对于任意x，y∈（-∞，0）∪（0，+∞），f（x•y）=f（x）+f（y）；②当x＞1时，f（x）＞0，且f（2）=1．
（1）试判断函数f（x）的奇偶性；
（2）判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性；
（3）求函数f（x）在（0，4]的最大值；
（4）求定义在（0，+∞）上的不等式f（3x-2）+f（x）≤4的解集．

Answer 1

（1）令x=y=1，则f（1•1）=f（1）+f（1），解得f（1）=0；
再令x=y=-1，则f[（-1）•（-1）]=f（-1）+f（-1），解得f（-1）=0；
对于条件f（x•y）=f（x）+f（y），令y=-1，则f（-x）=f（x）+f（-1）=f（x）；
又函数f（x）的定义域关于原点对称，∴函数f（x）为偶函数．
（2）在（0，+∞）上任取x₁，x₂，且x₁＜x₂，则有(x2)/(x1)＞1．又x＞1时，f（x）＞0，∴f((x2)/(x1))＞0；
∵f(x2)＝f(x1)+f((x2)/(x1))，∴f(x2)−f(x1)＝f((x2)/(x1))＞0，即f（x₂）＞f（x₁）；
∴函数f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（3）∵f（4）=f（2×2）=f（2）+f（2），又f（2）=1，∴f（4）=2；
由（2）知f（x）在（0，4]上是增函数，∴f（x）_max=f（4）=2；
（4）∵f（3x-2）+f（x）=f[（3x-2）x]，4=2+2=f（4）+f（4）=f（16）；
∴原不等式等价于f[（3x-2）x]≤f（16）；
又不等式是定义在（0，+∞）上，结合（2）得

3x−2＞0

x＞0

(3x−2)x≤16

；
解得(2)/(3)＜x≤(8)/(3)；
∴原不等式的解集是((2)/(3)，(8)/(3)]．