已知数列{an}的首项为1,设f(n)=a1Cn1+a2Cn2=…+anCnn.数列{an}能否成等差数列,使得f(n)-1=2^n*(n-1)对一切自然数都成立.若能,求出数列{an}的通项公式；若不能,试说明理由

Question

已知数列{an}的首项为1,设f(n)=a1Cn1+a2Cn2=…+anCnn.
数列{an}能否成等差数列,使得f(n)-1=2^n*(n-1)对一切自然数都成立.若能,求出数列{an}的通项公式；若不能,试说明理由

Answer 1

f(1)-1=0
f(1)=a1=1
f(2)-1=2^2*1=4
f(2)=2a1+a2=5
a2=3
f(3)=5
取an=2n-1
f(n)=(2*1-1)*C(n,1)+(2*2-1)*C(n,2)+…+(2n-1)*C(n,n)
=2*(1*C(n,1)+2*C(n,2)+…+n*C(n,n))-(C(n,1)+C(n,2)+…+C(n,n))
=2n*(C(n-1,0)+C(n-1,1)+…+C(n-1,n-1))-(C(n,0)+C(n,1)+C(n,2)+…+C(n,n))+1
=2n*2^(n-1)-2^n+1
=2^n*(n-1)