已知函数f（x）=（2-a）（x-1）-2lnx（a∈R）．（1）若曲线g（x）=f（x）+x上点（1，g（1））处的切线过点（0，2），求函数g（x）的单调减区间；（2）若函数y=f（x）在(0，12)上无零点，求a的最

Question

已知函数f（x）=（2-a）（x-1）-2lnx（a∈R）．
（1）若曲线g（x）=f（x）+x上点（1，g（1））处的切线过点（0，2），求函数g（x）的单调减区间；
（2）若函数y=f（x）在(0，(1)/(2))上无零点，求a的最小值．

Answer 1

（1）∵g（x）=（3-a）x-（2-a）-2lnx，
∴g′（x）=3-a-(2)/(x)，∴g′（1）=1-a，
又g（1）=1，∴1-a=(1-2)/(1-0)=-1，解得：a=2，
由g′（x）=3-2-(2)/(x)=(x-2)/(x)<0，解得：0<x<2，
∴函数g（x）在（0，2）递减；
（2）∵f（x）<0在（0，(1)/(2)）恒成立不可能，
故要使f（x）在（0，(1)/(2)）无零点，只需任意x∈（0，(1)/(2)），f（x）>0恒成立，
即对x∈（0，(1)/(2)），a>2-(2lnx)/(x-1)恒成立，
令l（x）=2-(2lnx)/(x-1)，x∈（0，(1)/(2)），
则l′（x）=(2lnx+(2)/(x)-2)/((x-1)2)，
再令m（x）=2lnx+(2)/(x)-2，x∈（0，(1)/(2)），
则m′（x）=(-2(1-x))/(x2)<0，
故m（x）在（0，(1)/(2)）递减，于是m（x）>m（(1)/(2)）=2-2ln2>0，
从而f′（x）>0，于是l（x）在（0，(1)/(2)）递增，
∴l（x）<l（(1)/(2)）=2-4ln2，
故要使a>2-(2lnx)/(x-1)恒成立，只要a∈[2-4ln2，+∞），
综上，若函数y=f（x）在(0，(1)/(2))上无零点，则a的最小值是2-4ln2．