已知函数f（x）=ln（a-1x）（a∈R）．若关于x的方程ln[（4-a）x+2a-5]-f（x）=0的解集中恰好有一个元素，则实数a的取值范围为．

Question

已知函数f（x）=ln（a- (1)/(x)）（a∈R）．若关于x的方程ln[（4-a）x+2a-5]-f（x）=0的解集中恰好有一个元素，则实数a的取值范围为___．

Answer 1

由ln[（4-a）x+2a-5]-f（x）=0，
得ln[（ 4-a）x+2a-5]=ln（a-(1)/(x)），
即a-(1)/(x)=（4-a）x+2a-5>0，①
则（a-4）x²-（a-5）x-1=0，
即（x-1）[（a-4）x+1]=0，②，
当a=4时，方程②的解为x=1，代入①，成立；
当a=3时，方程②的解为x=1，代入①，成立；
当a≠4且a≠3时，方程②的解为x=1或x=-(1)/(a-4)，
若x=1是方程①的解，则a-(1)/(x)=a-1>0，即a>1，
若x=-(1)/(a-4)是方程①的解，则a-(1)/(x)=2a-4>0，即a>2，
则要使方程①有且仅有一个解，则1<a≤2．
综上，关于x的方程ln[（4-a）x+2a-5]-f（x）=0的解集中恰好有一个元素，
则a的取值范围是1<a≤2，或a=3或a=4，
故答案为：（1，2]∪{3，4}．