数列{an}满足a1=1，an=3an-1-4n+6（n≥2，n∈N*）．（1）设bn=an-2n，求证：数列{bn}是等比数列；（2）求数列{an}的前n项和Sn．

Question

数列{a_n}满足a₁=1，a_n=3a_n-1-4n+6（n≥2，n∈N^*）．
（1）设b_n=a_n-2n，求证：数列{b_n}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

（1）∵b_n=a_n-2n，即a_n=b_n+2n
∵a_n=3a_n-1-4n+6，
∴b_n+2n=3[b_n-1+2（n-1）]-4n+6，
即b_n=3b_n-1
又b₁=a₁-2=-1≠0
所以数列{b_n}是以-1为首项，3为公比的等比数列．
（2）由（1）知a_n-2n=-3^n-1，即a_n=2n-3^n-1．
所以Sn＝(2+2n)/(2)×n−(3n−1)/(3−1)＝n(n+1)−(3n−1)/(2)．