已知函数f（x）=3sin（ωx+φ）+2sin2ωx+φ2-1（ω＞0，0＜φ＜π）为奇函数，且相邻两对称轴间的距离为π2．（1）当x∈（-π2，π4）时，求f（x）的单调递减区间；（2）将函数y=f（x）的图象沿x轴

Question

已知函数f（x）=√(3)sin（ωx+φ）+2sin²(ωx+φ)/(2)-1（ω＞0，0＜φ＜π）为奇函数，且相邻两对称轴间的距离为(π)/(2)．
（1）当x∈（-(π)/(2)，(π)/(4)）时，求f（x）的单调递减区间；
（2）将函数y=f（x）的图象沿x轴方向向右平移(π)/(6)个单位长度，再把横坐标缩短到原来的(1)/(2)（纵坐标不变），得到函数y=g（x）的图象．当x∈[-(π)/(12)，(π)/(6)]时，求函数g（x）的值域．

Answer 1

（1）f（x）=√(3)sin（ωx+φ）+2sin²(ωx+φ)/(2)-1=√(3)sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）=2sin（ωx+φ+(π)/(6)）
∵函数是奇函数，0＜φ＜π
∴φ=-(π)/(6)，
∴f（x）=2sinωx，
∵相邻两对称轴间的距离为(π)/(2)，
∴(2π)/(ω)=π，
∴ω=2，
∴f（x）=2sin2x，
∵x∈（-(π)/(2)，(π)/(4)），
∴2x∈（-π，(π)/(2)），
∴f（x）的单调递减区间为（-(π)/(2)，-(π)/(4)）；
（2）由题意，g（x）=2sin（x-(π)/(3)）．
当x∈[-(π)/(12)，(π)/(6)]时，x-(π)/(3)∈[-(5)/(12)π，-(π)/(6)]，
∴函数g（x）的值域为[-

√(2)+

作业帮用户 2017-10-15

问题解析

（1）f（x）=2sin（ωx+φ+(π)/(6)），利用函数是奇函数，0＜φ＜π，且相邻两对称轴间的距离为(π)/(2)，即可求出当x∈（-(π)/(2)，(π)/(4)）时，f（x）的单调递减区间；
（2）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得y=g（x），即可求出当x∈[-(π)/(12)，(π)/(6)]时，求函数g（x）的值域．

名师点评

本题考点：

二倍角的正弦；两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．

考点点评：

本题主要考查诱导公式的应用，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．

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