已知函数f（x）=（2-a）（x-1）-2lnx，g（x）=xe1-x．（a∈R，e为自然对数的底数）（Ⅰ）当a=1时，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f(x)在(0，12)上无零点，求a的最小值；（Ⅲ）若对任意给定的

Question

已知函数f（x）=（2-a）（x-1）-2lnx，g（x）=xe^1-x．（a∈R，e为自然对数的底数）
（Ⅰ）当a=1时，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f(x)在(0，(1)/(2))上无零点，求a的最小值；
（Ⅲ）若对任意给定的x₀∈（0，e]，在（0，e]上总存在两个不同的x_i（i=1，2），使得f（x_i）=g（x₀）成立，求a的取值范围．

Answer 1

（I）当a＝1时，f(x)＝x−1−2lnx，则f′(x)＝1−(2)/(x)，
由f'（x）＞0，得x＞2；由f'（x）＜0，得0＜x＜2．
故f（x）的单调减区间为（0，2]，单调增区间为[2，+∞）．
（II）因为f(x)＜0在区间(0，(1)/(2))上恒成立不可能，
故要使函数f(x)在(0，(1)/(2))上无零点，只要对任意的x∈(0，(1)/(2))，f(x)＞0恒成立，
即对x∈(0，(1)/(2))，a＞2−(2lnx)/(x−1)恒成立．
令l(x)＝2−(2lnx)/(x−1)，x∈(0，(1)/(2))，
则l′（x）=(2lnx+(2)/(x)−2)/((x−1)2)，
再令m（x）=2lnx+(2)/(x)−2，x∈(0，(1)/(2))，
则m′(x)＝(2)/(x)−(2)/(x2)=−(2(1−x))/(x2)＜0，
故m（x）在(0，(1)/(2))上为减函数，于是m（x）＞m((1)/(2))=2-2ln2＞0．
从而l′（x）＞0，于是l（x）在(0，(1)/(2))上为增函数，
∴l（x）＜l((1)/(2))=2-4ln2，
故要使a＞2−(2lnx)/(x−1)在(0，(1)/(2))上无零点，只要a∈[2-4ln2，+∞）．
综上，若函数f(x)在(0，(1)/(2))上无零点，则a的最小值为2-4ln2．
（III）g'（x）=e^1-x-xe^1-x=（1-x）e^1-x，

当x∈(0，1)时，g′(x)＞0，函数g(x)单调递增；

当x∈(1，e]时，g′(x)＜0，函数g(x)单调递减.

又因为g(0)＝0，g(1)＝1，g(e)＝e•e1−e＞0，

所以，函数g（x）在（0，e]上的值域为（0，1]．
当a=2时，不合题意；

当a≠2时，f′(x)＝2−a−(2)/(x)＝((2−a)x−2)/(x)＝((2−a)(x−(2)/(2−a)))/(x)，x∈(0，e]

当x＝(2)/(2−a)时，f′(x)＝0.

由题意得，f(x)在(0，e]上不单调，

故0＜(2)/(2−a)＜e，即a＜2−(2)/(e)①
此时，当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下：

	(0，(2)/(2−a))	(2)/(2−a)	((2)/(2−a)，e]
f'（x）	-	0	+
f（x）	↘	最小值	↗

又因为，当x→0时，f(x)→+∞，

f((2)/(2−a))＝a−2ln(2)/(2−a)，f(e)＝(2−a)(e−1)−2，

所以，对任意给定的x0∈(0，e]，在(0，e]上总存在两个不同的xi(i＝1，2)，

使得f(xi)＝g(x0)成立，当且仅当a满足下列条件：

②③

f((2)/(2−a))≤0

f(e)≥1

即

a−2ln(2)/(2−a)≤0

(2−a)(e−1)−2≥1.

令h(a)＝a−2ln(2)/(2−a)，a∈(−∞，2−(2)/(e))，

则h′(a)＝1−2[ln2−ln(2−a)]′＝1−(2)/(2−a)＝(a)/(a−2)，令h′(a)＝0，

得a＝0或a＝2，

故当a∈(−∞，0)时，h′(a)＞0，函数h(a)单调递增；

当a∈(0，2−(2)/(e))时，h′(a)＜0，函数h(a)单调递减.

所以，对任意a∈(−∞，2−(2)/(e))，有h(a)≤h(0)＝0，

即②对任意a∈(−∞，2−(2)/(e))恒成立．
由③式解得：a≤2−(3)/(e−1)．④
综合①④可知，当a∈(−∞，2−(3)/(e−1)]时，对任意给定的x0∈(0，e]，
在（0，e]上总存在两个不同的x_i（i=1，2），
使f（x_i）=g（x₀）成立．