如图，在平面直角坐标系中，以原点为圆心，单位长度1为半径的圆上有两点A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ）．（0＜α＜β＜π）（1）试用A、B两点的坐标表示向量OA与OB的夹角β-α的余弦值；

Question

如图，在平面直角坐标系中，以原点为圆心，单位长度1为半径的圆上有两点A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ）．（0＜α＜β＜π）
（1）试用A、B两点的坐标表示向量

OA

与

OB

的夹角β-α的余弦值；
（2）计算cos15°的值；
（3）若K

OA

+

OB

与

OA

-K

OB

的长度相等（其中K为非零实数），求β-α的值．

Answer 1

（1）∵

OA

=（cosα，sinα），

OB

=（cosβ，sinβ），
∴

OA

•

OB

=|

OA

|•|

OB

|•cos（β-α）=cos（β-α）=cosαcosβ+sinαsinβ；
（2）cos15°=cos（45°-30°）=cos45°cos30°+sin45°sin30°=(√(6)+√(2))/(4)；
（3）根据题意得：（kcosα+cosβ）²+（ksinα+sinβ）²=（cosα-kcosβ）²+（sinα-ksinβ）²，
整理得：4kcos（β-α）=0，
∵k≠0，∴cos（β-α）=0，
∵0＜α＜β＜π，
∴0＜β-α＜π，
∴α-β=(π)/(2)．