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如图1,在△ABC中,AB=AC,∠ABC=α,D是BC边上一点,以AD为边作△ADE,使AE=AD,∠DAE+∠BAC=180°.(1)直接写出∠ADE的度数(用含α的式子表示);(2)以AB,AE为边作平行四边形ABFE,①如图2,
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如图1,在△ABC中,AB=AC,∠ABC=α,D是BC边上一点,以AD为边作△ADE,使AE=AD,∠DAE+∠BAC=180°.
(1)直接写出∠ADE的度数(用含α的式子表示);
(2)以AB,AE为边作平行四边形ABFE,
①如图2,若点F恰好落在DE上,求证:BD=CD;
②如图3,若点F恰好落在BC上,求证:BD=CF.
(1)直接写出∠ADE的度数(用含α的式子表示);
(2)以AB,AE为边作平行四边形ABFE,
①如图2,若点F恰好落在DE上,求证:BD=CD;
②如图3,若点F恰好落在BC上,求证:BD=CF.
▼优质解答
答案和解析
(1)∵在△ABC中,AB=AC,∠ABC=α,
∴∠BAC=180°-2α,
∵∠DAE+∠BAC=180°,
∴∠DAE=2α,
∵AE=AD,
∴∠ADE=90°-α;
(2)①证明:∵四边形ABFE是平行四边形,
∴AB∥EF.
∴∠EDC=∠ABC=α,
由(1)知,∠ADE=90°-α,
∴∠ADC=∠ADE+∠EDC=90°,
∴AD⊥BC.
∵AB=AC,
∴BD=CD;
②证明:∵AB=AC,∠ABC=α,
∴∠C=∠B=α.
∵四边形ABFE是平行四边形,
∴AE∥BF,AE=BF.
∴∠EAC=∠C=α,
由(1)知,∠DAE=2α,
∴∠DAC=α,
∴∠DAC=∠C.
∴AD=CD.
∵AD=AE=BF,
∴BF=CD.
∴BD=CF.
∴∠BAC=180°-2α,
∵∠DAE+∠BAC=180°,
∴∠DAE=2α,
∵AE=AD,
∴∠ADE=90°-α;
(2)①证明:∵四边形ABFE是平行四边形,
∴AB∥EF.
∴∠EDC=∠ABC=α,
由(1)知,∠ADE=90°-α,
∴∠ADC=∠ADE+∠EDC=90°,
∴AD⊥BC.
∵AB=AC,
∴BD=CD;
②证明:∵AB=AC,∠ABC=α,
∴∠C=∠B=α.
∵四边形ABFE是平行四边形,
∴AE∥BF,AE=BF.
∴∠EAC=∠C=α,
由(1)知,∠DAE=2α,
∴∠DAC=α,
∴∠DAC=∠C.
∴AD=CD.
∵AD=AE=BF,
∴BF=CD.
∴BD=CF.
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