如图所示，水平面上放置一半径为R的光滑圆弧槽，在槽内有两个质量分别为m、3m的小球A和B，它们半径均为R3，平衡时槽面圆心O与球A的球心连线与竖直方向夹角为α，则下列关系式正确的有

Question

如图所示，水平面上放置一半径为R的光滑圆弧槽，在槽内有两个质量分别为m、3m的小球A和B，它们半径均为(R)/(3)，平衡时槽面圆心O与球A的球心连线与竖直方向夹角为α，则下列关系式正确的有（　　）

A．tanα=(3√(3))/(5)
B．tanα=2-√(3)
C．sinα=(√(2))/(2)
D．tanα=(√(3))/(2)

Answer 1

分别连接O点与A、B两个圆的圆心，显然图中任意两圆连心线所在直线过切点，则：OOA＝OOB＝R−r＝R−(1)/(3)R＝(2R)/(3)＝2r
而：O_AO_B=2r
故三圆圆心连线构成等边三角形，边长为2r．
画出A球受力如图2，
设竖直线与O_AO_B的交点是M，OM=L，MO_A=x，则MO_B=2r-x
由图可知，由于平衡，平移后三力构成封闭三角形，△O_ANmg′和△MO_AO是相似三角形，所以得：(x)/(L)＝(N)/(mg′)＝(N)/(mg)  ①
同理，对B进行受力分析如图3，
得：(2r−x)/(L)＝(N)/(3mg)   ②
联立①②得：x=3（2r-x），即：x＝(3)/(2)r   ③
在三角形MO_AO中，由正弦定理得：(x)/(sinα)＝(L)/(sin60°)   ④
在三角形MO_BO中，由正弦定理得：(2r−x)/(sin(60°−α))＝(L)/(sin60°)  ⑤
根据三角函数的关系知：sin（60°-α）=sin60°•cosα-cos60°•sinα=(√(3))/(2)cosα−(1)/(2)sinα  ⑥
联立④⑤⑥解得：3√(3)cosα＝5sinα
所以：tanα＝(3√(3))/(5)，sinα＝(5)/(√(52))
故选：A