在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：3x+y-4=0，曲线C2：x=cosθy=1+sinθ（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）曲线C3：x=tcosα

Question

在平面直角坐标系xOy中，曲线C₁：√(3)x+y-4=0，曲线C₂：

x=cosθ

y=1+sinθ

（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．
（Ⅰ）求曲线C₁，C₂的极坐标方程；
（Ⅱ）曲线C₃：

x=tcosα

y=tsinα

（t为参数，t>0，0<α<(π)/(2)）分别交C₁，C₂于A，B两点，当α取何值时，(|OB|)/(|OA|)取得最大值．

Answer 1

（Ⅰ）因为x=ρcosθ，y=ρsinθ，x²+y²=ρ²，C₁的极坐标方程为√(3)ρcosθ+ρsinθ-4=0，
C₂的普通方程为x²+（y-1）²=1，即x²+y²-2y=0，对应极坐标方程为ρ=2sinθ．
（Ⅱ）曲线C₃的极坐标方程为θ=α（ρ>0，0<α<(π)/(2)）
设A（ρ₁，α），B（ρ₂，α），则ρ1=(4)/(√(3)cosα+sinα)，ρ₂=2sinα，
所以(|OB|)/(|OA|)=(ρ2)/(ρ1)=(1)/(4)×2sinα(√(3)cosα+sinα)=(1)/(4)(√(3)sin2α-cos2α+1)=(1)/(4)[2sin(2α-(π)/(6))+1]，
又0<α<(π)/(2)，-(π)/(6)<2α-(π)/(6)<(5π)/(6)，
所以当2α-(π)/(6)=(π)/(2)，即α=(π)/(3)时，(|OB|)/(|OA|)取得最大值(3)/(4)．