已知关于x的一元二次方程x2-2x-a2-a=0（a＞0）．（1）求证：这个方程的一根大于2，一根小于2；（2）若对于a=1，2，3，…，2010，2011时，相应得到的一元二次方程的两根分别为α1和β1，α2和β2

Question

已知关于x的一元二次方程x²-2x-a²-a=0（a＞0）．
（1）求证：这个方程的一根大于2，一根小于2；
（2）若对于a=1，2，3，…，2010，2011时，相应得到的一元二次方程的两根分别为α₁和β₁，α₂和β₂，α₃和β₃，…，α₂₀₁₀和β₂₀₁₀，α₂₀₁₁和β₂₀₁₁，试求((1)/(α1)+(1)/(α2)+(1)/(α3)+…+(1)/(α2010)+(1)/(α2011))+((1)/(β1)+(1)/(β2)+(1)/(β3)+…+(1)/(β2010)+(1)/(β2011))的值．

Answer 1

（1）证明：设方程的两根是α₁，β₁，
则α₁+β₁=2，α₁•β₁=-a²-a，
∴（α₁-2）（β₁-2）
=α₁β₁-2（α₁+β₁）+4
=-a²-a-2×2+4
=-a²-a，
∵a＞0，
∴-a²-a＜0，
即这个方程的一根大于2，一根小于2．

（2）∵α₁+β₁=2，α₁•β₁=-a²-a=-a（a+1）
∵对于a=1，2，3，…，2010，2011时，相应得到的一元二次方程的两根分别为α₁和β₁，α₂和β₂，α₃和β₃，…，α₂₀₁₀和β₂₀₁₀，α₂₀₁₁和β₂₀₁₁，
∴((1)/(α1)+(1)/(α2)+(1)/(α3)+…+(1)/(α2010)+(1)/(α2011))+((1)/(β1)+(1)/(β2)+(1)/(β3)+…+(1)/(β2010)+(1)/(β2011))
=(1)/(α1)+(1)/(β1)+(1)/(α2)+(1)/(β2)+(1)/(α3)+(1)/(β3)+…+(1)/(α2010)+(1)/(β2010)+(1)/(α2011)+(1)/(β2011)
=(α1+β1)/(α1β1)+(α2+β2)/(α2β2)+(α3+β3)/(α3β3)+…+(α2011+β2011)/(α2011β2011)
=(2)/(−1×2)+(2)/(−2×3)+(2)/(−3×4)+…+(2)/(−2011×2012)
=-2×（(1)/(1×2)+(1)/(2×3)+(1)/(3×4)+…+(1)/(2011×2012)）
=-2×（1-(1)/(2)+(1)/(2)-(1)/(3)+(1)/(3)-(1)/(4)+…+(1)/(2011)-(1)/(2012)）
=-2×（1-(1)/(2012)）
=-(2011)/(1006)．