三角形ABC中AD平分角BAC,交BC于D,圆O过点A切BC于D,交AB于E,交AC于F,BD=AE,BE=3,CF=2,求AF的长

Question

三角形ABC中AD平分角BAC,交BC于D,圆O过点A切BC于D,交AB于E,交AC于F,BD=AE,BE=3,CF=2,求AF的长

Answer 1

连接ED,FD
因为AD平分角BAC,所以∠EAD=∠FAD
所以在圆O中有ED=FD
因为BD是圆O切线,BA为割线,根据切割线定理有：
BD/BE=AB/BD=AD/ED
又BD=AE,BE=3,AB=AE+BE,可解得：BD=3/2（1+√5）,AD/ED=BD/BE=1/2（1+√5）
所以AD/FD=AD/ED=1/2（1+√5）
又CD是圆O切线,CA为割线,根据切割线定理有：
AD/FD=AC/CD=CD/FC
又CF=2,可解得：AC=3+√5
所以AF=AC-CF=1+√5