数学题、、有关中线长定理△ABC中,BC=8,AB+AC=10.BC边上中线AD=m.求m的最小值

Question

数学题、、有关中线长定理
△ABC中,BC=8,AB+AC=10.BC边上中线AD=m.求m的最小值

Answer 1

方法一：直接应用三角形中线长计算公式.
∵m＝（1/2）√（2AB^2＋2AC^2－BC^2）　∴4m^2＝2（AB^2＋AC^2）－64,
∴2m^2＝AB^2＋AC^2－32,　∴2m^2＝（AB＋AC）^2－2AB×AC－32,
∴2m^2＝100－32－2AB×AC＝68－2AB×AC.
在△ABC中,显然有：AB、AC都是正数,∴AB＋AC≧2√（AB×AC）,∴100≧4AB×AC,
∴－2AB×AC≧－50.
∴2m^2＝68－2AB×AC≧68－50＝18,　∴m^2≧9.
∵m＞0,∴m≧3.
∴m的最小值为3.
方法二：
∵BC＝8,又BD＝CD,∴BD＝CD＝4.
由斯特瓦德定理,有：AB^2×CD＋AC^2×BD－AD^2×BC＝BC×BD×CD,
∴4AB^2＋4AC^2－8m^2＝8×4×4,∴2m^2＝AB^2＋AC^2－32.
同方法一,得：m的最小值为3.