在一个半径为R的球内作一个内接圆锥,求圆锥的最大体积,并求出最大体积的圆锥的高

Question

在一个半径为R的球内作一个内接圆锥,求圆锥的最大体积,并求出最大体积的圆锥的高

Answer 1

设内接圆锥的高为h,底面半径为r,体积为V,则V=π/3×r?×h=π/3×r?×（R+√（R?-r?)).
令r=Rcosθ（0＜θ＜π/2）,于是
V=π/3×R?×cos?θ（1+sinθ）
=π/6×R?（2（1-sinθ）（1+sinθ）（1+sinθ）
＜=π/6×R?（（2（1-sinθ）+（1+sinθ）+（1+sinθ））/3）?
=32/81×πR?
当且仅当2（1-sinθ）=1+sinθ,即sinθ=1/3时等号成立,这时h=R（1+sinθ）=4/3×R