如图，△ABC内接于⊙O，AB=8，AC=4，D是AB边上一点，P是优弧BAC的中点，连接PA、PB、PC、PD，当BD的长度为多少时，△PAD是以AD为底边的等腰三角形？并加以证明．

Question

如图，△ABC内接于⊙O，AB=8，AC=4，D是AB边上一点，P是优弧

BAC

的中点，连接PA、PB、PC、PD，当BD的长度为多少时，△PAD是以AD为底边的等腰三角形？并加以证明．

Answer 1

当BD=4时，△PAD是以AD为底边的等腰三角形．理由如下：
∵P是优弧

BAC

的中点，
∴弧PB=弧PC．
∴PB=PC．
在△PBD与△PCA中，
∵

PB=PC

∠PBD=∠PCA

BD=AC=4

，
∴△PBD≌△PCA（SAS）．
∴PD=PA，
即BD=4时，△PAD是以AD为底边的等腰三角形．