已知：如图，△ABC内接于O，AF是O的弦，AF⊥BC，垂足为D，点E为弧BF上一点，且BE=CF，（1）求证：AE是O的直径；（2）若∠ABC=∠EAC，AE=8，求AC的长．

Question

已知：如图，△ABC内接于 O，AF是 O的弦，AF⊥BC，垂足为D，点E为弧BF上一点，且BE=CF，

（1）求证：AE是 O的直径；     
（2）若∠ABC=∠EAC，AE=8，求AC的长．

Answer 1

（1）证明：∵BE=CF，
∴

BE

=

CF

，
∴∠BAE=∠CAF，
∵AF⊥BC，
∴ADC=90°，
∴∠FAD+∠ACD=90°，
∵∠E=∠ACB，
∴∠E+∠BAE=90°，
∴∠ABE=90°，
∴AE是 O的直径；
（2）如图，连接OC，
∴∠AOC=2∠ABC，
∵∠ABC=∠CAE，
∴∠AOC=2∠CAE，
∵OA=OA，
∴∠CAO=∠ACO=(1)/(2)∠AOC，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∵AE=8，∴AO=CO=4，
∴AC=4√(2)．