已知，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，弦DB⊥AC，垂足为M，过点D作⊙O的切线，交BA的延长线于点E，若AC=10，tan∠DAE=43，求DB和DE的长．

Question

已知，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，弦DB⊥AC，垂足为M，过点D作⊙O的切线，交BA的延长线于点E，若AC=10，tan∠DAE=(4)/(3)，求DB和DE的长．

Answer 1

连接OD，BC，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠DAE=∠DCB，
∵AC为⊙O的直径，弦DB⊥AC，
∴DB=2DM，弧AD=弧AB，
∴∠1=∠2，AD=AB；
又∠3=2∠1，
∴∠3=∠BCD=∠DAE．
∴tan∠3=tan∠DAE=(4)/(3)，
∵AC=10，
∴OD=5；
在Rt△ODM中，设DM=4x，得OM=3x，
由勾股定理，得DM²+OM²=OD²．
∴（4x）²+（3x）²=5²．取正数解，得x=1，
∴OM=3x=3，DM=4x=4，
∴DB=2DM=8．
∵OM=3，
∴AM=OA-OM=2．
在Rt△AMD中，由勾股定理，得AD=√(AM2+DM2)=2√(5)．
∵ED是⊙O的切线，
∴∠EDA=∠EBD；
又∠BED为公用角，
∴△EDA∽△EBD，
∴(EA)/(ED)=(DA)/(BD)=(√(5))/(4)，
∴EA=(√(5))/(4)DE．
∵DE²=EA•EB=EA（EA+AB）=EA（EA+AD）=EA²+EA•AD．
∴DE²=（(√(5))/(4)ED）²+(√(5))/(4)DE•2√(5)．
解关于DE的方程，得DE=(40)/(11)．