如图，四边形ABCD内接于以BC为直径的半圆O，且AB=AD，DA、CB的延长线相交于点P，CE⊥PE，PB=BO．已知DC=18，求DE的长．

Question

如图，四边形ABCD内接于以BC为直径的半圆O，且AB=AD，DA、CB的延长线相交于点P，CE⊥PE，PB=BO．已知DC=18，求DE的长．

Answer 1

如图，连接AO，AC．（1分）
由AB=AD知，∠BCA=∠ACD．（2分）
又∠BOA=2∠OCA，
所以∠BOA=∠OCD，AO∥DC．（4分）
∵PB=BO=OC，
∴PA=2AD，AO＝(2)/(3)CD＝12，（6分）
由切割线定理知PA•PD=PB•PC，6AD²=3BO²=3•12²，（8分）
∴AD＝6√(2)，
∴AB＝AD＝6√(2)，（10分）
∵Rt△EDC∽Rt△ABC，（12分）
∴(ED)/(DC)＝(AB)/(BC)，(ED)/(18)＝(6√(2))/(24)，（14分）
∴DE＝(9)/(2)√(2)．（15分）