如图，四边形ABCD内接于⊙O，且BD为直径，∠ACB=45°，过A点的AC的垂线交BC的延长线于点E．（1）求证：BE=CD；（2）如果AD=2，求图中阴影的面积．

Question

如图，四边形ABCD内接于⊙O，且BD为直径，∠ACB=45°，过A点的AC的垂线交BC的延长线于点E．

（1）求证：BE=CD；
（2）如果AD=√(2)，求图中阴影的面积．

Answer 1

（1）∵BD为⊙O的直径，
∴∠BAC=90°，
∵∠ACB=45°，
∴∠ADB=∠ACB=45°，
∵AE⊥AC，
∴△ADE与△ABD是等腰直角三角形，
∴AE=AC，AB=AD，∠EAC=∠BAD=90°，
∴∠EAB=∠CAD，
在△ABE与△ADC中，

AE=AC

∠EAB=∠CAD

AB=AD

，
∴△ABE≌△ADC，
∴BE=CD；

（2）连接AO，则∠AOD=90°，
∵AD=√(2)，
∴AO=OD=1，
∴S_阴影=S_扇形-S_△AOD=(90•π×12)/(360)-(1)/(2)×1×1=(π)/(4)-(1)/(2)．