如图，边长为4的正方形ABCD内接于点O，点E是AB上的一动点（不与A、B重合），点F是BC上的一点，连接OE、OF，分别与AB、BC交于点

Question

如图，边长为4的正方形ABCD内接于点O，点E是

AB

上的一动点（不与A、B重合），点F是

BC

上的一点，连接OE、OF，分别与AB、BC交于点G，H，且∠EOF=90°，有以下结论：
①

AE

=

BF

；
②△OGH是等腰三角形；
③四边形OGBH的面积随着点E位置的变化而变化；
④△GBH周长的最小值为4+ √(2)．
其中正确的是___（把你认为正确结论的序号都填上）．

Answer 1

①如图所示，

∵∠BOE+∠BOF=90°，∠COF+∠BOF=90°，
∴∠BOE=∠COF，
在△BOE与△COF中，

OB=OC

∠BOE=∠COF

OE=OF

，
∴△BOE≌△COF，
∴BE=CF，
∴

AE

=

BF

，①正确；
②∵BE=CF，
∴△BOG≌△COH；
∵∠BOG=∠COH，∠COH+∠OBF=90°，
∴∠GOH=90°，OG=OH，
∴△OGH是等腰直角三角形，②正确．
③如图所示，

∵△HOM≌△GON，
∴四边形OGBH的面积始终等于正方形ONBM的面积，③错误；
④∵△BOG≌△COH，
∴BG=CH，
∴BG+BH=BC=4，
设BG=x，则BH=4-x，
则GH=√(BG2+BH2)=√(x2+(4-x)2)，
∴其最小值为2√(2)，D错误．
故答案为：①②．