圆内接八边形的连续四边长为1,另四边长为2,则八边形的面积为多少?

Question

圆内接八边形的连续四边长为1,另四边长为2,则八边形的面积为多少?

Answer 1

设圆内接八边形ABCDEFGH,
AB=BC=CD=DE=1,
EF=FG=GH=HA=2,
连结OH、OB、OA、BH,
设△OAB、△OBC、△OCD、△ODE顶角为α,△OEF、△OFG、△OGH、△OHA顶角为β,
4α+4β=360°,
∴α+β=90°,
∴〈HOA+〈AOB=90°,
∴〈BHO是等腰RT△,
OA=ON=OH=R,
BH=√2R,
HAB劣弧圆周角为45°,则〈HAB=135°,
在△AHB中,根据余弦定理,
HB^2=HA^2+AB^2-2HA*AB*cos135°=4+1-2*2*1*（-√2/2）
=5+2√2,
∴HB=√（5+2√2）,
R=[√（10+4√2）]/2=1.9784,
cos=(8√2-3)/17=0.4889,
sinS△OAH=(1/2)OH*OA*sin=(1/8)（10+4√2）*√（（152+48√2）/17=1.707
cossinS△OAB=（1/2）R^2*sin=0.6883
∴S八边形=1.707*4+0.6883*4=9.5812,